מבוא ללוגיקה מתמטית מבוסס על הרצאותיו של פרופ' איליה ריפס נכתב ונערך ע"י דינה זליגר סמסטר א' תשס"ו

מבוא ללוגיקה מתמטית נכתב ונערך ע"י דינה זליגר מבוסס על הרצאותיו של פרופ' איליה ריפס סמסטר א' תשס"ו

מבוא ללוגיקה, דינה זליגר תנאי שימוש Please read the followg mportat legal formato before readg or usg these otes. he use of these otes costtutes a agreemet to abde b the terms ad codtos below, just as f ou had sged ths agreemet.. HE SERVIE. he followg otes ("he servce" are provded b Da Zl's Notes-Heave ("Notes-Heave".. DISLIMER OF WRRNIES; LIMIION OF LIILIY. Notes-Heave does ot edorse cotet, or warrat the accurac, completeess, correctess, tmeless or usefuless of a opos, advce, cotet, or servces provded b the Servce. YOU GREE H USE OF HE SERVIE IS ENIRELY YOUR OWN RISK. HE SERVIE PROVIDED IS PROVIDED "S IS," WIHOU WRRNY OF NY KIND. NOES-HEVEN EXPRESSLY DISLIMS LL WRRNIES OF NY KIND, WHEHER EXPRESS OR IMPLIED, INLUDING WIHOU LIMIION: NY WRRNIES ONERNING HE URY OR ONEN OF INFORMION OR SERVIES. NOES-HEVEN MKES NO WRRNY H HE SERVIE WILL MEE YOUR REQUIREMENS, OR H HE SERVIE WILL E ERROR FREE; NOR DOES NOES-HEVEN MKE NY WRRNY S O HE RESULS H MY E OINED FROM HE USE OF HE SERVIE OR S O HE URY OR RELIILIY OF NY INFORMION OINED HROUGH HE SERVIE. YOU UNDERSND ND GREE H NY D OINED HROUGH HE USE OF HE SERVIE IS DONE YOUR OWN DISREION ND RISK ND H YOU WILL E SOLELY RESPONSILE FOR NY DMGE O YOUR GP. NEIHER NOES-HEVEN NOR NY OF IS PRNERS, GENS, FFILIES OR ONEN PROVIDERS SHLL E LILE FOR NY DIRE, INDIRE, INIDENL, SPEIL OR ONSEQUENIL DMGES RISING OU OF USE OF HE SERVIE OR INILIY O GIN ESS O OR USE HE SERVIE OR OU OF NY REH OF NY WRRNY.. INDEMNIFIION. You agree to demf ad hold Notes-Heave, ts parters, agets, afflates ad cotet parters harmless from a dspute whch ma arse from a breach of terms of ths greemet. You agree to hold Notes-Heave harmless from a clams ad epeses, cludg reasoable attore's fees ad court costs, related to our volato of ths greemet. D. OWNERSHIP RIGHS. he materals provded b the Servce ma be dowloaded or reprted for persoal use ol. You ackowledge that the Servce cotas formato that s protected b coprghts, trademarks, trade secrets or other propretar rghts, ad that these rghts are vald ad protected all forms, meda ad techologes estg ow or hereafter developed. You ma ot modf, publsh, trasmt, partcpate the trasfer or sale, create dervatve works, or a wa eplot, a of the otet, whole or part. You ma ot upload, post, reproduce or dstrbute otet protected b coprght, or other propretar rght, wthout obtag permsso of the ower of the coprght or other propretar rght. E. NO OPYING OR DISRIUION. You ma ot reproduce, cop or redstrbute the desg or laout of ths servce, dvdual elemets of the desg, Notes-Heave logos or other logos appearg o ths servce, wthout the epress wrtte permsso of Notes- Heave, Ic. Reproducto, copg or redstrbuto for commercal purposes of the servce s strctl prohbted wthout the epress wrtte permsso of Notes-Heave, Ic. If ou have a questos about ths statemet or the practces of ths servce ou ca cotact Da Zelger dazl@otes-heave.tk

מבוא ללוגיקה, דינה זליגר תוכן העניינים. פתח דבר... 2 לוגיקה מתמטית מהי?... 3 האינדוקציה המתמטית... 3 האריתמטיקה של פיאנו... 3 שפות פורמליות... 4 הצבה... 7 מבנים... 8.5.6.7.8 אקסיומות לוגיות... 0 משפט הטאוטולוגיה... 2.9.0 נספח צורת קידומת נורמלית... 8 משפט השלמות... 8 סיכום ההגדרות... 22 נספח 2 סיכום טענות העזר, הלמות, נספח 3 הטענות והמשפטים... 24 בחינה לדוגמה... 26

2 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר פתח דבר סטודנטים יקרים, לרשום עבודה רבה הושקעה בהכנת מסמך זה. אך בכל זאת נפלו מספר טעויות. אבקש לקרוא את המסמך בזהירות ולא להתייחס למה שכתוב שם כתורה משמיים. בהקשר זה עלי לציין מספר הערות שיש להתייחס אליהן בקריאת המסמך.. = ברורה כמובן הכוונה אך נכון יותר הראשונה, בהגדרה של פירוש נוסחאות במבנים אני משתמשת בסימון H ( = H ( (, כאשר היא פונקציית ה של קשר האיווי. כך גם לגבי שאר המקרים. השנייה, במקומות רבים אני משתמשת בקשרים הלוגיים גם כדי להביע רעיונות בעברית. למשל, הטענה (8 רשום ( ( [ a] = a = גם כאן ברורה הכוונה ובכל זאת כדי למנוע דו משמעויות ולהפריד הפרדה גמורה בין העולם של השפה לבין העולם שלנו שבו אנחנו מדברים על השפה בעברית עדיף להשתמש במילים. כלומר עדיף לרשום: ( [ a] = מתקיים a אמ"מ לכל איבר ( ( = ". = סימן השוויון כאן הוא שוויון בין נוסחאות, בין מילים, כלומר המחרוזת באותו הקשר, פעמים רבות השתמשתי בניסוח כדוגמת " אך הדבר לא נעשה, שרשומה מצד שמאל היא ממש אותה המחרוזת שרשומה מצד ימין. ניתן היה לפתור בעיה זו ע"י כתיבה כזאת. שכן, כמו בכל המקרים הקודמים, הכוונה הייתה ברורה. ובכל זאת עדיף פשוט להשתמש במילים: עדיף הניסוח היא מהצורה לצערי לא הצלחתי להביא את המסמך לתצורה האופטימלית. ולכן אחזור ואומר, התייחסו לדברים בזהירות ובמחשבה!! כמה מילות עידוד לקראת המבחן, יונתן אמר שמבחן יהיה ברמה של המבחן לדוגמה (ר' נספח 3 ובכמה רמות מתחת לרמה שאנחנו רגילים לפתור בתרגילים. אין הדבר אומר כי ניתן לנהוג בשאננות ובכל זאת כשאני ראיתי את המבחן נפלה עלי תחושת הקלה רבה. ובכן לא נותר מה לומר עוד, חוץ מבהצלחה! מי יתן וכולנו נקבל 00 במבחן! דינה זליגר נ.ב. ברצוני להודות לכל הסטודנטים או, העירו הערות והאירו רעיונות במהלך כתיבת מסמך זה. זכרו את מלחמת יום כיפור...

3 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר. לוגיקה מתמטית מהי? בניגוד למדעים רבים, מתמטיקה היא לא מדע שמסתמך על תצפיות. בכדי שמתמטיקאי יקבל משהו בתור עובדה הוא צריך להיות מוכח באופן ריגורוזי. אבל לא כל דבר ניתן להוכיח. ישנן עובדות שאנחנו פשוט מקבלים אותן כמו שהן, ללא ההוכחה אלה הן האקסיומות. כל הדברים האחרים שמוכיחים על סמך האקסיומות הם משפטים. כנ"ל לגבי מושגים. ישנם מושגים בסיסיים שאנחנו פשוט "מבינים" ללא הגדרה וכל שאר המושגים והרעיונות שאנחנו משתמשים בהם מוגדרים באמצעות המושגים הבסיסיים האלה. ישנן שתי דרכים לבחון את המשפטים. דרך אחת היא להסתכל על המשפט (theorem כמשפט,(setece כלומר כעצם תחבירי ולבחון את התכונות התחביריות שלו (המישור הסינטקטי. דרך אחרת היא לבחון את המשפט מבחינת המשמעות שלו, הרעיונות שעליהם הוא מדבר ומה הוא טוען לגביהם (המישור הסמנטי. על פני השטח נראה שטוב יותר לעבוד במישור הסמנטי, אל בהמשך נגלה שלא בהכרח כך הדבר ואף להפך המחקר במישור הסינטקטי פשוט יותר ומביא לתוצאות כלליות יותר. המשפטים עלולים לפעמים להיות מסובכים וקשים מאוד להבנה. נבחן אותם מבחינת המבנה ולא מבחינת המשמעות נוכל פעמים רבות לגלות תכונות רבות שלהם אף ללא פירוש המשמעות של המשפט. המישור הסינטקטי הוא קונקרטי ומביא לתוצאות קונקרטיות, אך כדי לעבוד איתו רוב ההוכחות שנשתמש בהן יהיו קונקרטיות גם הן, כלומר, הוכחות שיראו קיום ע"י בנייה ממש ולא ע"י טענה שאי-קיום יביא לסתירה. האינדוקציה המתמטית כרגע זה עוד לא אומר לנו הרבה אבל במהלך קריאת הסיכום נוכל לשים לב שנעשה שימוש נרחב בעקרונות אינדוקציה למיניהם. יש שני עקרונות שאנחנו מכירים עוד מימי התיכון ומהקורסים של שנה א'. עיקרון האינדוציה הרגילה: תהי P טענה כלשהי לגבי המספר הטבעי. התנאים הבאים:. בסיס האינדוקציה: הטענה אז P( 0 שלב האינדוקציה: לכל את נכונות הטענה נכונה. 0<, נכונות הטענה מתקיימים שני P(. P P תקפה לכל מספר טבעי. עיקרון האינדוקציה המלאה: תהי P טענה כלשהי לגבי המספר הטבעי. שנכונות הטענה הטענה לכל < k גוררת את נכונות הטענה לכל P( k P נכונה לכל טבעי גוררת מתקיים P. אז נשים לשב שבעיקרון האינדוקציה המלאה לא נדרש בסיס לאינדוקציה. זו משהו שקשה לנו מאוד לעכל באופן אינטואיטיבי אך הדבר נכון ובעצם בסיס האינדוקציה מתקיים כאן באופן ריק. ניתן להראות את שקילות שני העקרונות הנ"ל. כמו כן הם שקולים לעיקרון המינימום אך לא השתמשנו בו בשום מקום בקורס ולכן לא נפרט בנושא. לכל תת קבוצה של הטבעיים קיים איבר מינימלי. כמו כן, כמו קודם, מה שנאמר עכשיו כנראה לא יהיה ברור כל שך אך יש לזכור זאת בעת קריאה של החומר. עיקרון האינדוקציה מזמין אותנו להשתמש בו לא רק למטרות סטנדרטיות כגון הוכחת תכונות של מספרים טבעיים. הגדרות רבות שנראה בקורס הן הגדרות רקורסיביות ולכן יהיה לנו נוכח להוכיח משפטים על עצמים אלה באינדוקציה. למשל תופענה לנו הוחכות באינדוקציה על בנייה ל שמות עצם ונוסחאות, הוכחות באינדוקציה על תהליך ההסקה. כל אלה מתבסיים על אותו עיקרון:. נוכיח שתכונה מתקיימת לעצם בסיסי כלשהו. 2. נוכיח שבעקבות כל תהליך "חוקי" שנוכל לעשות עם עצם זה נשמרת התכונה הזאת. מכן ינבע שתכונה נכונה לכל עצם. אל דאגה לא הבנתם כלום כרגע. האריתמטיקה של פיאנו ההבנה תבוא עם קראית הטקסט. האקסיומות של פיאנו (לצורך הדיון בפרק זה נסמן את האקסיומה ה- - ית ב- ( 0 קיים S לכל קיים עוקב 4. = אז S= S.5 כך ש- S=0 לא קיים 6. S= כך ש- לכל 0 קיים 7. + 0=.8.9 + S= S( + 0= 0 S= + < 0 < S = < < = <.0. נוכיח כל מיני טענות שנובעות מאקסיומות פיאנו. כל מבנה שמקיים את האקסיומות האלה יקיים את המשפטים שנוכיח. למשל, המספרים הטבעיים הם מבנה שמתקיימות בו האקסיומות של פיאנו ולכן מתקיימים לגביהם כל המשפטים שתכף נוכיח. (לצורך דיון זה נסמן את המשפט ה- -י ב- ( 0+ = משפט : הערה: המשפט הזה לא ברור משום שקומוטטיביות היא לא אחת מהאקסיומות. הוכחה: באינדוקציה על : 0+ 0=. בסיס האינדוקציה: עבור 0= לפי 6 נקבל 0 2. הנחת האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה עבור 3. שלב האינדוקציה: נוכיח עבור העוקב : S 7 IH 0+ S= S 0+ = S לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל משפט 2:. S+ = S( + הוכחה: באינדוקציה על : נקבל = 0 עבור. 6 6 S+ 0= S= S + 0 נניח עבור ונוכיח לעוקב שלו:

4 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר ( + z = + z ( 7 IH 7 S+ S= S S+ = S S + = S + S לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל. 6 + = + משפט :3 הוכחה: באינדוקציה על : + 0= = 0+ עבור = 0 נקבל נניח עבור ונוכיח לעוקב שלו: 7 IH 2 + S= S( + = S( + = S+. לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל ( + + z= + ( + z משפט 4: הוכחה: באינדוקציה על : z 6 6 ( + + 0= + = + ( + 0 נניח עבור. z אזי ( Sz S( ( z S( ( z 7 7 7 IH 7 + + = + + = + + = = + S + z = + + Sz לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה עבור כל. z 9 HI 6 :. 0 = משפט 0 :5 הוכחה: באינדוקציה על 8 0 0= 0 0 S= 0 + 0= 0+ 0= נניח עבור. אזי 0 לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל.. S = + משפט :6 הוכחה: באינדוקציה על : 8 6 8 0+ 0= 0+ 0= 0= S 0 נניח עבור ונוכיח ל- : S 9 IH 7 S S= S + S= + + S= ( ( 7 4 = S + + = S + + 9 7 S+ S= + + S= ( ( 7 4 3 = S + + = S + + = 3 ( = S + +. לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל. = משפט :7 הוכחה: באינדוקציה על : 5 8 0 = 0= 0 נניח שהמשפט נכון עבור ונוכיח שהוא נכון גם לעוקב שלו: משפט 8: הוכחה: באינדוקציה על : z + 0 = = + 0= + 0. 6 6 8 7 9 + Sz = S + z =. z אז: 9 IH 4 = + z + = + z + = 4 9 = + z+ = + Sz. z נניח עבור ולכן לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל ( z= ( z משפט 9: הוכחה: באינדוקציה על : z 8 8 8 0 = 0= 0= 0 נניח את נכונות הטענה ל-. z אזי: 9 IH 8 Sz= z+ = z + = 8 9 = z+ = Sz. z. מעיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל בזאת הוכחנו את כל התכונות הרגילות שאנחנו מכירים על הטבעיים. שפות פורמליות ניזכר אילו מרכיבים היו באקסיומות פיאנו: 0 -מקומית קבוע אפס (שניתן להתייחס אליו כפונקציה - - S העוקב פונקציה חד-מקומית - +, פונקציות דו-מקומיות - יחס דו מקומי < - "קטן מ-" - לשם כך יש אבל בעזרת מרכיבים אלה לא נוכל להביע יותר מדי רעיונות. סימנים שמאפשרים לכתוב רעיונות באופן פורמלי ולקשר בין משפטים קשרים לוגיים הם סימנים שמבטאים יחסים בין משפטים: שונים. שלילה (egato - גימום (cojucto - איווי (dsjucto - גרירה - שקילות - גימום, איווי, גרירה ושקילות הם קשרים דו-מקומיים ואילו שלילה הוא קשר לוגי חד-מקומי. 0 -מקומיים והם מחזירים ערכים קבועים: ישנם גם קשרים לוגיים - - נראה שניתן להביע את כל הקשרים באמצעות :{, } {, } קשר שלילה P P איווי Q ביטוי באמצעות P P Q ((( P ( Q ( P Q ( Q P P גימום Q שקילות P Q נשתמש בביטוי השקול שלמעלה ובמקום סימן הגימום. 9 IH 6 S= + = + = S לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל.

5 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר. k 2 כאשר Q α... Q αk בתור ניתן לבדוק את כל הזהויות שבטבלה באמצעות טבלאות. דוגמה, נ את הביטוי שהצגנו לאיווי: P Q P Q P ( P Q P אנחנו רואים שהביטויים נותנים את אותו ערך לכל ערך התחלתי של לכן הם שקולים. ושל. Q ישנן אלטרנטיבות אחרות: ניתן להציג את כל הקשרים באמצעות למשל :, ( P Q (( P ( Q ( P Q ( Q P גרירה: גימום: שקילות: { } נשים לב שלא נתנו ייצוג לקשרים ה- 0 -מקומיים ו-. למעשה, זה בלתי אפשרי משום שהקשרים שבחרנו להביע באמצעותם את השאר הם ( דו-מקומיים. הביטוי P P מחזיר תמיד ערך אך הוא חד- מקומי!! לסיכום, כאשר מנסחים שפה פורמלית יש להחליט אילו קשרים לוגיים נכניס לשפה כסמלים בסיסיים וכל שאר הקשרים יהיו קיצורים של ביטויים שמופיעים בהם אך ורק הסמלים הבסיסיים. הגדרה: משתנה בוליאני P הוא משתנה שיכול לקבל אך ורק אחד מהערכים (שנסמן ב- ו (שנסמן ב-. F כלומר. P, F - - - { } -מקומית היא פונקציה שמקבלת כקלט הגדרה: פונקציה בוליאנית משתנים בוליאניים ומחזירה ערך בוליאני או. 2 טענה 0: יש פונקציות בוליאניות -מקומיות. הסבר: הפונקציה היא -מקומית והיא בוליאנית. לכן יש 2 אפשרויות לסדרות של קלט. לכל סדרה כזאת יש שתי אופציות לפלט. ככה f ( P,..., P -מקומית 2 2 2 פונקציות שונות. מתקבלות משפט : כל פונקציה בוליאנית ניתן להציג כאיווי של גימום של המשתנים הבוליאניים או שלילתם. משמעות: השפה שלנו מורכבת רק מהקשרים שלילה איווי וגימום נוכל לבטא בעזרתם כל פונקציה בוליאנית שנרצה ולא נצטרך להכניס לשפה קשרים לוגיים נוספים. למעשה, נדמה לי שבמיתוג מוכיחים שאי אפשר לוותר על השלילה. אבל חוץ מהשלילה נכניס לשםה עוד קשר שבעזרתו ובעזרת השלילה נוכל לבטא את האיווי והגימום אז נקבל מערכת שלמה של קשרים, כלומר לא נזדקק לקשרים נוספים ונוכל לבטא כל פונקציה בוליאנית שנרצה! הוכחה: לפונקציה f יש 2 קלטים אפשריים. נסתכל על טבלת הערכים 2 של הפונקציה. בטבלה כזאת יש שורות (בהת למספר הקלטים האפשריים ובכל שורה יש או ערך "" או ערך "". נניח. לכל שורה שהפונקציה החזירה ערך "" בשורות. { L α } α {,...,2 } { ε } = { P } = נניח שהקלטים קיבלו ערכי נגדיר אז לאותו רצף של קלטים. נסתכל על מחזירה ערך "". f ביטוי זה מחזיר ערך "" אמ"מ הפונקציה וביטוי זה הוא איווי של גימומים. 3 -מקומית ע"י הטבלה הבאה: f דוגמה: נגדיר פונקציה בוליאנית P P 2 P 3 f ( P, P, P 2 3 2 3 4 5 6 7 8 נפעל לפי השורות שבהן הפונקציה מקבלת ערך מודגשות. האלגוריתם המתואר בהוכחה: שורה : δ δ2 ( P, P, P = (,, ( P, P, P δ 3 = P, P, P 2 3 2 3 2 3 כלומר Q = P P2 P3 שורה 2: δ δ2 ( P, P, P = (,, F ( P, P, P δ 3 = P, P, P 2 3 2 3 2 3 כלומר Q2 = P P2 P3 שורה 4: δ δ2 ( P, P, P = (, F, F ( P, P, P δ 3 = P, P, P 2 3 2 3 2 3 כלומר Q4 = P P2 P3 שורה 8: δ δ2 ( P, P, P = ( F, F, F ( P, P, P δ 3 = P, P, P 2 3 2 3 2 3 כלומר Q8 = P P2 P3 לכן נקבל בסופו של דבר: (, 2, 3 = 2 4 8 = ( P P P ( P P P ( P P P ( P P P f P P P Q Q Q Q = 2 3 2 3 2 3 2 3 f ( P,..., P הגדרה: פונקציה בוליאנית -מקומית "". נקראת טאוטלוגיה,..., P מתקבל ערך לכל ערך של P ( דוגמה: P P היא טאוטולוגיה. הערה: לכל פונקציה בוליאנית ניתן לבדוק היא טאוטולוגה או לא: יש להציב את 2 האופציות למשתנים ולבדוק מה הפלט שלה. משום שמספר הקלטים גדל באופן אקספוננציאלי זה לא פרקטי כל כך, אבל מה שחשוב לנו הוא שקיים אלגוריתם סופי לבדיקה. אנחנו נבחר כקונבנציה להשתמש בקשרים }. }. ראינו שניתן להביע באמצעותם כל קשר לוגי דו-מקומי אחר. כמו כן ראינו שניתן להציג כל פונקציה בוליאנית באמצעות איווי וגימום ולכן גם באמצעות האיווי והשלילה. כעת אנחנו יודעים לקשר בין חלקי משפט. אבל נרצה גם להביע באיזשהו אופן קיום והכללה. לשם כך קיימים הכמתים: - כמת של קיום: - קיים כך ש- ( st - כמת של הכללה: - לכל מתקיים ( ll בשפה נוכל להסתפק בכמת אחת בלבד. נשים לב שלומר זה כמו. יותר קל להבין זה כמו להגיד ולומר להגיד זאת בעזרת דוגמה: ( שיירד בו גשם ( יש יום בשבוע : - לא נכון שבכל יום בשבוע לא יירד גשם, L α δ P ε =. לכל P δ Q = P כאשר... P δ = α P ε = F Q α מקבל ערך "" אמ"מ הפונקציה החזירה ערך "" ברור ש-

6 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר v משתנה אזי 0= - הוא מספר המקומות בה v פונקציה אזי - v יחס אזי הוא מספר המקומות בו - v שלילה אזי = - v איווי אזי =2 - v כמת קיום אזי =2. - לכאורה לא השגנו כלום בהגדרה הזו של היגד, ולמעשה גם לא נשתמש מה שאנחנו אמורים להסיק מההערה הזו הוא איזו שיטה בזה יותר מדי. כאשר נרצה להוכיח דבר מה כללית להוכחה של תכונות של היגדים. שקשור בשמות עצם או בנוסחאות פעמים רבות נוכיח זאת באינדוקציה על אבל לפי מה שכתבנו כאן לאינדוקציה הזאת יש מתכון בניית ההיגד. קבוע: ראשית בתור בסיס אינדוקציה נראה את הטענה להיגד הבסיסי לאחר מכן נניח שהטענה נכונה לכל היגד שתהליך שאינו ניתן לפירוק. הבנייה שלו היה קצר יותר מההיגד המדובר ולבסוף נוכיח לגבי ההיגד עצמו ע"י כך שנעבור על כל האופנים שבהם הוא יכול היה להיבנות. מה שנאמר פה לא ברור עכשיו, אל דאגה, לאחר מספר (רב!! של הוכחות מסוג זה, העניין יהיה ברור. ( יירד גשם ( בכל יום בשבוע : - לא נכון שיש יום בשבוע שבו לא יירד גשם אנחנו נבחר להשתמש בכמת של הקיום ונביע באמצעותו את הכמת הכולל. בשפה פורמלית יש גם משתנים לא בוליאניים שאותם נסמן בד"כ באותיות,, ואינדקסים תחתונים. נניח שיש אינסוף משתנים. כלומר, לא z יכול לקרות מצב שבו נרצה להשתמש במשתנה ואין לנו כזה. לסיכום: בשפה יש: החלק הלוגי:. קשרים a. כמתים b. החלק הלא לוגי 2. משתנים a. פונקציות b. יחסים c. הגדרה: שם עצם. כל משתנה הוא שם עצם. 2. f סימן פונקציה u,..., u 0= שם עצם (ייתכן גם המקרה ש- fu... u בקבוע דוגמה: באריתמטיקה של פיאנו 0 הוא ולכן הוא שם עצם. S שגם. SS0 + פונקציה דו-מקומית ולכן + S0SS0S0 שמות עצם אזי ואז מדובר -מקומית ו- קבוע, כלומר פונקציה 0 -מקומית פונקציה חד-מקומית ולכן S0 שם עצם ומכאן היא פונקציה דו מקומית ולכן +S0SS0. גם היא שם עצם. ההגדרה בעצם נותנת אלגוריתם רקורסיבי לבנייה של שמות עצם בשפה. הגדרה: נוסחה. נניח ש- p,..., u שמות עצם. סימן יחס -מקומי ו- u נקרא נוסחה אטומית. נוסחה אטומית היא נוסחה. נוסחאות אזי נוסחה. pu... u, נוסחה אזי. 4. נוסחה ו- משתנה אזי נוסחה. דוגמה: < S S S 0 S 0 = 0 S 0 0 0 0 0 2 0= 3 3< ( 3< ( 0= אזי בהמשך נראה שתמיד ניתן לשחזר אחורה בצורה חד-חד-ערכית את הסימנים הבלתי קריאים לבני אנוש האלה. ו כבר בסימנים בלתי קריאים לבני אנוש ענייננו, מילה של מוטיבציה: אנחנו נראה שאת רוב המשפטים מוכיחים באינדוקציה על בניית הנוסחה ואז הצמצום בסימנים יעזור לנו, משום שניוותר עם מספר אופציות מצומצם ולא נצטרך להוכיח לכל האוסף הרחב של סימנים שהיינו יכולים להכניס לשפה. הגדרה: היגד הוא או שם עצם או נוסחה. נשים לב שכל ההיגדים שהגדרנו קודם (שמות עצם ונוסחאות הוגדרו באותו אופן. הגדרנו מהו היגד בסיסי שלא ניתן לפירוק ולאחר מכן באופן,..., v היגדים מאותו הסוג אזי רקורסיבי: v סמל של השפה ו- v v מתאים לכל סמל היגד גם הוא. חשוב לשים לב שלא כל vv... v בשפה וכמובן v צריך גם להתאים לסוג ההיגד: משתנה במקרה של שם עצם ונוסחה אטומית במקרה של נוסחה. =0 אינו היגד ואין שום צורה שנוכל להגיע לביטוי זה ע"י דוגמה: 0 הכללים שהגדרנו. לעומת זאת, = 00 הוא היגד. במקרה זה v הוא סימן השוויון =. השוויון הוא יחס דו מקומי ולכן אחריו עומדים שני שמות עצם, כלומר שני היגדים.... αα הוא היגד: אלגוריתם לבדיקה הביטוי αk. לבדוק את α:... αα אינו היגד. αk סימן 0 -מקומי אזי α a. - α אחרת לבדוק מהו מספר המקומות של b.... α ל- חלקים בכל צורה α k. לחלק את אפשרית. לכל חלוקה לבצע את הבדיקה. הגדרה: בהינתן שפה, מילה היא רצף של סימנים כלשהם מהשפה (לאו דווקא בעל משמעות. =0 הוא לא היגד אבל זו מילה! כך גם ++0 S +0. דוגמה: 0 הגדרה: יהיו w, w2 מילים בשפה. מתקיים אחד מהבאים:. היא רישא של w 2 w w 2 טענה היא רישא של w יהיו 2: v,..., v, v ',..., v ' נאמר שהן ניתנות להשוואה ( 0< היגדים כך שהמילים - 0. v '... ' ו- v... = v ',..., v ' = v ניתנות להשוואה. אזי v v v. v... הוכחה: באינדוקציה על האורך של האורך של v... v הוא רק סמל. האורך של v v הוא אזי = ו- רישא של ' v. v מקומי v = v אזי ברור שגם הוא ' v ' v אזי ' v מתחיל ב- v שהוא סמל v רישא של = v. v. v = v ' כלומר. v ' = v 0 -מקומי ולכן... v ונוכיח ל-. 2 נניח שהטענה נכונה לכל מילה שקצרה מ- v... v. מאחר ש-... ' '... v ו- v v ניתנות להשוואה גם v v ו- v u ניתנות להשוואה. כמן כן, הן מתחילות באותו הסימן v ' (אחרת הן לא יכולות להיות ניתנות להשוואה. נניח ש- u הוא... uu v = ו- 0. אזי ניתן לכתוב uk סימן k -מקומי k למעשה האלגוריתם הזה לא כ"כ טוב באחר שיש לבדוק גם סוג ההיגדים מתאים לסמלים ו כל ההיגדים הם מאותו סוג. אבל אנחנו יודעים ששני תנאים אלה מתקיימים אזי האלגוריתם עובד נכון.

7 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר.5 **... '... u ניתנות להשוואה. u ' k. v ' = uu אזי u uk ו- '... u k '... v ולכן ניתן להחיל לגביהן את הנחת אבל הן קצרות מ- v. v = v ' ',..., '. u = u uk לכן האינדוקציה: קיבלנו ש- = uk... 2 v ו- ' '...... v קצרה v ניתנות להשוואה. אבל v2 v 2 לכן v. v... 2 = v ',..., 2 v ' מ-. v v לכן לפי הנחת האינדוקציה = v. 0< לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל משפט 3: כל היגד מתפרש באופן חד-ערכי. =a. מאחר שהם היגדים ניתן b שני היגדים כך ש-,a הוכחה: יהיו b, הם מספרי המקומות m כאשר b= uu... ו- a= vv... um לרשום v. m= ולכן u= v a= b בהתאמה. מאחר ש-,v של הסמלים u a= ו-... v. בפרט הם vv...... v = u... u אזי. b= vu u כלומר v,..., u. v = כלומר ניתן v = u ניתנים להשוואה. אזי לפי טענה (2 לקרוא את a ואת b באופן יחיד. v ב- טענה 4: יהי u היגד ו- v סמל המופיע בתוך. u. u פותחת הופעה של היגד ב- u הוכחה: באינדוקציה על האורך של : u =u וסיימנו.. אזי v אזי ההופעה של l( u = נניח לכל היגד שקצר מ- u ונוכיח עבור u. u היגד ולכן נוכל =u כאשר z סמל -מקומי zz... לרשום אותו באופן הבא: z =v סיימנו. אחרת v מופיע באיזה z היגדים. z,..., ו- z. אבל ברור ש- l z < l u ולכן היגד כאשר z פותחת הופעה של לפי הנחת האינדוקציה ההופעה של v בתוך v ב- u פותחת הופעה של היגד כלומר ההופעה של היגד חדש. ב-. u. u לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל היגד v,..., v v ב- v אזי ההופעה של מופיע כולו בתוך איזה... uv היגד כאשר u סמל משפט 5: יהי v. uv... היגדים. יהי v היגד שמופיע ב- v v או ש- uv... היא כל uv... v v. הוכחה: ישנן שתי אפשרויות: הראשונה, v מתחיל באותו ה- u -מקומי ו-... uv. אזי הראשון ב- v =v v. ניתנת להשוואה עם... uv ולכן לפי טענה (2 uv '... ' v u. v= uv... v ',..., '. כלומר v = v v = v v האפשרות השנייה היא שהאות הפותחת של v נמצאת בתוך איזה -מקומי. w אזי ניתן m. נניח שאות זו היא סמל כאשר =v. ולפי טענה w 4 פותח הופעה של היגד wa... לכתוב am... ww ב- v. v ו-... ww ניתנים להשוואה ולכן wm wm. v,...,, a = w am = wm כלומר v נמצא כולו בתוך ** ' v ניתנות להשוואה ו נוריד מהן את האות הראשונה המילים שיוותרו גם הן v ו- כי יהיו ניתנות להשוואה w מילה l w מסמל את האורך של - w כלומר, את מספר האותיות ב-. w למשל הצבה נניח ש- נוסחה ו- משתנה שמופיע בה בכל מיני מקומות: נחליף אותו ב- מה יקרה בכל מקום שבו מופיע a שם עצם. נניח? a הגדרה: יהיו נוסחה ו- משתנה. הופעה של בתוך נקראת קשורה הוא מופיע ב- בחלק שצורתו (כאשר נוסחה. אחרת ההופעה נקראת חופשית. נקרא משתנה קשור (חופשי ב- קיימת הופעה קשורה (חופשית שלו ב-. = S S0 = S S S0 + 2 2 = 2 + = 2 ( + = 2 ( = 2 ( ( + = 2 דוגמה: בדוגמה זו גם קשור וגם חופשי. וההופעה החופשית מסומנת בכחול. ההופעה הקשורה מסומנת בכתום נחזור לשאלה המקורית שלנו: מה קורה כאשר מציבים שם עצם במקום משתנה? ובכן, מסתבר שהתשובה תלויה בסוג ההופעה של המשתנה. נחליף ב- b את אחת ההופעות b ו- a שמות עצם. טענה 6: יהיו של המשתנה ב- a נקבל שם עצם. c. b הוכחה: באינדוקציה על הבניה של שם העצם אחרי ההחלפה של =b. אזי b הוא משתנה ומופיע בו. אזי לא מופיע =c שהוא שם עצם. a נקבל a ב- =c וגם הוא ואז נקבל משתנה ששונה מ- כאשר =b שם עצם. נניח שהטענה נכונה לכל שם עצם שתהליך הבנייה שלו היה קצר 2.. b נניח בה"כ ש- אכן מופיע בתוך b ונוכיח עבור יותר משל b כי אחרת אין בעצם איפה להציב ואנחנו נשארים עם אותו שם f סימן פונקציה =b כאשר fb... b b ללא שינוי. העצם b,..., מופיע בתוך איזה b שמות עצם. b ו- -מקומי b ולכן אשר תהליך הבנייה שלו היה קצר יותר משל לאחר ההחלפה התקבל ניתן להחיל עליו את הנחת האינדוקציה. =c שם עצם. fb... b c b... b אזי. שם עצם. b + לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל שם עצם טענה 7: יהיו נוסחה, משתנה ו- a שם עצם. נציב את a במקום הופעה חופשית של תתקבל נוסחה. הערה: מדוע חשוב שההצבה מתבצעת רק במקום ההופעות החופשיות של? אחרת מתקבלת מילה חסרת משמעות. למשל נניח נציב במקום ההופעה הראשונה של את, a c. ( = f שאינו משתנה, ונקבל '. המילה הזאת אינה היגד שכן, a = f לפי ההגדרה של נוסחה לאחר כמת חייב להופיע משתנה. הוכחה: באינדוקציה על בניית הנוסחה : = כאשר p סימן יחס pb.... נוסחה אטומית אזי b,..., b שמות עצם. מופיע ב- אזי קיים מקומי ו- b. b אזי לפי טענה (6 אחרי כך ש- מופיע בתוך. c אזי b נקבל שם עצם ההחלפה של ב- a בתוך ' = pb... b c b... b נוסחה אטומית. + z ( S. l + 0 0 = 5

8 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר 2. נניח שהטענה נכונה לכל נוסחה שתהליך הבנייה שלה קצר מזה של 6.. כמו כן, נניח ש- אכן מופיע ב- אחרת ההצבה לא תשנה דבר. וגם נוסחאות. גם, כאשר =.a נבנות בתהליך קצר יותר מאשר ולכן ניתן להחיל עליהן את הנחת האינדוקציה. מופיע ב- אחרי ' נוסחה. ההצבה נקבל נוסחה ' ואז = ' באותו אופן מופיע ב- לאחר ההצבה נקבל ' נוסחה. = נוסחה ' ואז ' = כאשר נוסחה אזי תהליך הבנייה של.b קצר יותר מזה של ולכן ניתן להחיל עליה את הנחת האינדוקציה. הצבת a במקום ב- תיתן לנו ' נוסחה. נוסחה ' ואז ' = c. = כאשר נוסחה ניתן להחיל עליה את הנחת האינדוקציה ולכן לאחר ההצבה נקבל נוסחה ' ' נוסחה. נשים לב ש = אזי = ואז ' אין הופעות חופשיות של בתוך. לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל נוסחה. ראינו שהצבה של שם עצם במקום משתנה חופשי נותנת לנו היגד חוקי. אבל ה המשמעות של ההיגד נשארת זהה? הגדרה: הצבה של שם עצם a במקום הופעה חופשית של משתנה בנוסחה נקראת מותרת לכל משתנה שנמצא ב-, a אף חלק של. לא מכיל הופעה חופשית של מהצורה סימון: נסמן ב- a] [ את הנוסחה המתקבלת ע"י הצבה מותרת של שם העצם a במקום כל ההופעות החופשיות של משתנה בנוסחה. a a היא הנוסחה המתקבלת מ- ע"י החלפת כל,...,,..,,..., a,..., בהתאמה, כאשר ההצבה ב- a ההופעות החופשיות של. היא מותרת לכל a במקום של הערה: ההצבה הזאת נעשית בקריאה אחת. כלומר עוברים תו-תו על הנוסחה וכל פעם שנתקלים במשתנה כלשהו מחליפים אותו בשם העצם a המתאים, ולא חוזרים אחורה. כעת נעבור לשפה של בני אדם, נשתמש בכל הקשרים והכמתים שאנחנו (( כמו כן, ננסה מכירים וגם נרשום את הסימנים בסדר שאנחנו רגילים אליו. להשתמש בכמה שפחות סוגריים ולשם כך נגדיר סדר פעולות סימנים (כמו סדר פעולות חשבון. הסדר הוא (מהקושר יותר לקושר פחות: שלילה. גימום 2. איווי 3. גרירה 4. שקילות 5. = למשל, כאשר יש רצף פעולות שוות חוזק נקרא אותן כאילו הסוגריים מתרכזות מצד ימין.. D= למשל, D הגדרה: מבנים L לשפה מבנה שפה. L תהי הוא קבוצה מוגדרות פונקציות ויחסים כדלהלן: -מקומית לכל סימן פונקציה f שבשפה L f היא בעצם קבוע ו- שעליה מוגדרת פונקציה. f כאשר =0. f : -מקומי לכל סימן יחס p שבשפה L p { F} :, (פונקצייה בוליאנית -מקומית. p קבוע ומתקיים. p {, F} הגדרה: תהי שפה L ויהי מבנה לשפה. לכל יחס מוגדר 0= אזי a נגדיר פונקציה 0 -מקומית (כלומר קבוע a שנקראת השם a של. ( a = a את השפה המורחבת נסנן ע"י. L ומקיימת חשוב להבין שבמבנה הפונקציות והיחסים הם בעצם האופן שבו אנחנו מפרשים את הסימנים של השפה. השפה רק אומרת שיש לנו פונקציות ויחסים ובמבנה אנחנו רואים מה הן עושות. כמובן, בכל מבנה זה יכול להיות אחרת. נשאלת אפוא השאלה, איך אנחנו מפרשים שמות עצם ונוסחאות? fb... b אז שמות עצם: ( a = ( a = a אזי נפרש a שם של a. 2. שם העצם אינו שם של איבר, אזי שם העצם הוא כאשר. f סימן פונקציה -מקומית ו- נפרש את השם העצם ב- באופן הבא: b,..., b ( fb... b f( ( b,..., ( b. = הגדרה: נוסחה תיקרא סגורה אין בה אף משתנה חופשי. נוסחאות:. יהי יהיו p סימן יחס בשפה ללא משתנים. -מקומי בשפה שמות עצם.,..., b שמות עצם b ויהיו L אזי הנוסחה האטומית הסגורה מתפרשת כך: ( pb... b = p( ( b,..., ( b {, F}., נוסחאות סגורות. ( = ( = ( ( קיים = אזי נפרש באופן הבא:. ( [ a] = כך ש- a תהי a,..., a.,..., נוסחה עם משתנים חופשיים לכל הצבה של איברים. (,...,,..., a a = = אזי נאמר ש- מתקיים (

9 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר דוגמה בשפה של האריתמטיקה של פיאנו המבנה הסטנדרטי הוא הטבעיים עם הפונקציות והיחסים הרגילים. אז: N =...,0,,2 N= ו-. 0 = 0 N 2 2 { } ( N N N, L, = = S : N N, S = + N + : N N,, m + m N ( m : N N,, m N N 2 = m = N: N {, F}, = N (, m = F m 2 < m < N: N {, F}, < N (, m = F m טענה 8: תהי נוסחה שאין בה משתנים חופשיים מלבד אולי אזי ( ( [ a] N = a = הסבר: הטענה הזאת אומרת שהכמת הכולל פועל כפי שאנחנו מצפים ממנו. זה מסביר לנו מדוע ב יכולנו לעשות את הזיהוי בין לבין. הוכחה: לפי הגדרת פירוש של נוסחאות שהן שלילה נקבל ש-. = אזי ( = ( = F ( a ( [ a] ( a ( [ a] F a ( [ a] = = =, קיבלנו את הדרוש. טענה 9: יהיו נוסחאות ללא משתנים חופשיים. אזי ( ( = ( ( = ( ( = הסבר: טענה זו מאפשרת לנו לעשות את הזיהוי בין לבין. כלומר כמת הגימום אכן פועל באופן שאנו מצפים ממנו. הוכחה: באותו אופן כמו בטענה (8 כל המעברים נעשים ע"י הגדרה של פירוש נוסחאות במבנה: = = ( F ( ( F ( F ( ( F ( ( F ( ( = = = = = = = קיבלנו את המבוקש.,..., טענה 20: יהיו אזי נוסחאות. הוכחה: (אני כתבתי את ההוכחה הזאת בעצמי ולא עשינו את זה בכיתה לכן יש לקרוא אותה בערבון מוגבל באינדוקציה על : נקבל. 2= אזי לפי ההגדרה של פירוש. ( 2 = ( ( 2 ( ( 2 = ( ( = ( 2 = ואז נקבל את המבוקש:. נניח עבור נוסחאות ונוכיח עבור + נוסחאות:. ( 2... + הוא בעצם... + D= 2... ונשים לב ש- D היא + נסמן (לשם קיצור איווי של נוסחאות ולכן ניתן להחיל לגביה את הנחת + (... ולכן = ( האינדוקציה. כעת (D נקבל כמו במקרה ( ש -. D = = D =. ( D =. סיימנו כי אז = ( = אז לפי הנחת האינדוקציה קיים. = אחרת אבל + 2 כך ש- נוסחאות. ( לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל,..., טענה 2: יהיו אזי נוסחאות.... = = הוכחה: באופן דומה להוכחה של טענה (20 ובשימוש בטענה (9. טענה 22: יהי b שם עצם ללא משתנים ויהי c שם עצם ללא משתנים. ( c[ b] = ( c[ a] אזי ( b = a מלבד אולי. משמעות: הטענה בעצם אומרת ששמות האיברים מתנהגים באופן שבו אנחנו מצפים. כלומר מציבים שם של איבר התוצאה זהה למה שמתקבל מציבים את שם העצם שמתפרש כאיבר הזה. דוגמה: נגדיר בשפה של האריתמטיקה של פיאנו c=+ SS0SSSSSSS 0 ו- b= SSSSS0 ונסתכל על הפירוש הסטנדרטי במבנה של הטבעיים. N c b = c=+ SS SSSSS SSSSSSS לכן. N b = 0 0 0. כעת נפרש את זה במבנה N N ( c[ b] = + = ( c[ 5] N( 5 5 5 5 c = c=+ SS0 SSSSSSS0 2 5 7 7 = 2 + 7= 2 5+ 7= 7 הטבעיים: הוכחה: באינדוקציה על תהליך הבניה של : c וגם =c אז. b] = c [ ולכן נקבל = b ( c[ b] = ( b = a= ( a = ( c[ a] c a a. ב- c אין משתנים אזי הוא לא משתנה בהצבה וכמובן שהטענה. ( c[ b] = c= ( c[ a] נכונה כי אז נניח שהטענה נכונה לכל שם עצם שתהליך הבניה שלו היה קצר יותר משל c ונוכיח עבור. c האופציה היחידה שנשאר לנו לטפל =c כאשר f פונקציה -מקומית ו- fb... בה היא כאשר b,..., b משתנים. משתנים אלה נוצרו בתהליך קצר יותר משל b c ולכן ניתן להחיל עליהם את הנחת האינדוקציה. אז נקבל בשימוש בהנחת האינדוקציה:... = = הערה: נשים לב שכאן הנוסחה כתובה בסדר הכמתים שאנחנו רגילים אליו ולא כך שהכמתים מופיעים לפני הנוסאות. זה לא משפיע כלל על ההוכחה שגם אותה ניתן היה לכתוב באופן המעוות אבל זה קריא יותר ככה.

0 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר IH ( [ b] ( DE [ b] ( D[ b] E[ b] = = = = ( D[ b] ( E[ b] IH = = ( D[ a] ( E[ a] ( D[ a] E[ a] ( DE [ a] = ( a = = = =.c defto ( c [ b] ( fb... b [ b] defto defto IH defto defto defto ( f ( b [ b]...( b [ b] f( ( ( b [ b],..., ( ( b [ b] ( ( [ a],..., ( [ a] ( f ( b [ a]...( b [ a] defto = = = = = = defto defto (( fb... b [ a] ( c[ a] IH defto = f b b = = = = = לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל שם עצם. c טענה 23: תהי נוסחה שאין בה משתנים חופשיים מלבד אולי ויהי b שם עצם שאין בו משתנים. = a אזי מתקיים ( b. ( [ b] = ( [ a] הוכחה: ראשית נשים לב שמשום שב- b אין משתנים ההצבה היא תמיד מותרת. כמו כן נשים לב ש אין ב- את המשתנה אז ההצבה לא משנה את הנוסחה וממילא הטענה מתקיימת. נניח אז שקיים משתנה חופשי בנוסחה. נוכיח את הטענה באינדוקציה על הבנייה של :... pb כאשר p סימן. נוסחה אטומית אזי מהצורה b,..., b שמות עצם. משום שב- אין יחס -מקומי ו- b,..., b אין משתנים כלל משתנים חופשיים מלבד אזי ב- b מלבד (בחלק מהם או בכולם. אזי 22 defto ( [ b] ( pb... b [ b] defto defto defto = = defto ( p( b [ b]...( b [ b] 22 p( ( ( b [ b],..., ( ( b [ b] defto ( ( [ a],..., ( [ a] ( [ a] = = = = = p b b = נניח עבור כל נוסחה שתהליך הבנייה שלה היה קצר מזה של ונוכיח עבור. a.. = D מאחר שב- אין משתנים חופשיים חוץ מאשר גם ב- D אין משתנים חופשיים חוץ מאשר ולכן ניתן להחיל עליה את הנחת האינדוקציה. כלומר. ( D[ b] = ( D[ a] נקבל שמתקיים עבור אזי נקבל IH : ( [ b] ( D[ b] ( D[ b] = = = ( D[ a] ( D[ a] ( [ a] = = =. = DE ב- אין משתנים חופשיים פרט ל-,D אין משתנים חופשיים פרט ל-. לכן ולכן גם ב- E ניתן להחיל עליהן את הנחת האינדוקציה. אזי נקבל שמתקיים הדבר הבא: = אזי אין משתנים חופשיים. = D ב- ולכן ההצבה לא משנה את הנוסחה. ממילא אז ( [ b] = ( [ a] מתקיים. משום אזי ב- D אין שב- אין משתנים חופשיים מלבד לכן ניתן להחיל עליה את. משתנים חופשיים מלבד הנחת האינדוקציה ולקבל: ( ( ( ( b = D b = D b = D = D a a a נראה כעת שמתקיים: :( ( D[ b] = ( ( D[ a] = ( ( D[ b] = a ' ( ( D, [ b, a '] = ( מהגדרה לפי הנחת האינדוקציה:. D b, = D, לכן (, [ a '], [ a a '] ( [ a] = כי בעצם קיבלנו:. a ' ( ( D, a, a ' = ( ( D[ a] = a '' ( ( D, [ a, a ''] = D ( מהגדרה אבל לפי הנחת האינדוקציה:. ולכן: ( D, [ a, a ''] = D, [ b, a ''] כמו קודם. = D b לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל נוסחה. אקסיומות לוגיות ישנן נוסחאות שתתפרשנה כנכונות בכל מבנה. נוסחאות אלה נקראות אקסיומות לוגיות. ניזכר שבסעיף שפות פורמליות הגדרנו טאוטולוגיה. אקסיומות לוגיות הן לא בהכרח טאוטולוגיות! נעמוד על ההבדלים בהמשך. נוסחה ו- תהי הנאותות לאקסיומות לוגיות: 24 (כלל משפט,,..., משתנים. אזי הנוסחאות הבאות הן אקסיומות,,..., לוגיות (כלומר הן נכונות בכל מבנה: השלישי הנמנע:. אקסיומת ההצבה: a = אקסיומת הזהות: אקסיומות השוויון:.7 IH.b

מבוא ללוגיקה, דינה זליגר. ( ( = ( = =... = f... = f... =... = p... p... הוכחה: יהי מבנה. נראה שכל הנוסאות הנ"ל נכונות:. לפי הגדרה: = = = *( = F אזי. ( [ a] ש- = F b מ-(* לא קיים.**( = ( a = a ' אבל מ-(** ומטענה (23. ( ( b נניח ש- a בזמן כך ש- אין משתנים חופשיים מלבד אולי וזאת סתירה. ב- אזי יש ( = וב- ( = ( [ a ']. = a משתנים חופשיים מלבד נכונה גם לכל הצבה במשתנים. מאחר ש- a = הנוסחה,..., אזי המשתנים הם a,..., ואז נסתכל על,...,,..., a כאשר a a נחזור למקרה שבו אין בנוסחה משתנים חופשיים מלבד אולי. = היא נוסחה אטומית עם משתנה חופשי. לפי הגדרה נוסחה מתפרשת במבנה כנכונה היא מתפרשת כנכונה להצבה של כל שם של איבר ב-. כן, יהי a ושמו. אזי a.( = [ a] ( a = a ( ( = = a ( a = a = אז לפי הגדרה של פירוש נוסחה. אבל זה כמובן נכון בכל מבנה מהגדרת סימן השוויון. נראה שהנוסחאות נכונות לכל הצבה של שמות של איברים מ-. יהיו a,..., a, b,..., b איברים ששמותיהם :,...,,,..., בהתאמה. נפרש את הנוסחאות במבנה a a b b ( a = b......... a = b f a a = f b b ( a = b... a = b pa... a pb... b ברור שזה נכון לכל מבנה ולכל שמות של איברים. קיבלנו שכל הנוסחאות הנ"ל מתפרשות כנכונות בכל מבנה. אקסיומות לוגיות. משפט 25 (כללי היסק: כלל ההרחבה: מ- נובע. נובע כלל הצמצום: מ- 2. נובע כלל האסוציאטיביות: 3. כלומר הן ( נובע ו- כלל חתך: מ- 4. נובע אינו חופשי ב- אז מ- כלל הכנסת : 5. משמעות: מה שהמשפט הזה אומר בעצם הוא ש הצלחנו להסיק נוסחה ממערכת אקסיומות אז היא תהיה נכונה בכל מבנה שמקיים את הנוסחאות שהרי המשפט בעצם אומר ש במבנה נכון התנאי של כלל האלה. ההיסק אז גם המסקנה של כלל ההיסק היא נכונה. הוכחה: יהי מבנה כלשהו.. ( = ( ( נראה ש- ( = אזי נכונה לכל הצבה של שמות איברים =,' הן הנוסחאות במקום המשתנים החופשיים בה. נניח ש- ' שהתקבלו מהצבת שמות של איברים במקום משתנים חופשיים, בהתאמה. אזי: ב- ( ' ' ( ' ( ' = = כלומר לכל הצבה של שמות איברים קיבלנו ש. ' ' = אז גם ' = נראה ש- כמו קודם תהי ' הנוסחה המתקבלת מהצבת שמות של איברים במשתנים החופשיים של. אזי. ' ' = ' = F נקבל ' ( ' ( ' ' = F. כלומר = מכאן ש-., ( ' ( ' ש- = F ( ' בסתירה להנחה. ולכן = ( ( ( נראה ש- = = יהיו ' ', ', כמו קודם. אזי: ( ' ( ' ' = ( ' ( ( ' ( ' ( ( ' ( ( ' ( ' ( ( ' ( ( ' ( ' ' ( אזי = (( ' ' ' = ( ' ' ( ' = = = = = = = ( ( ' ( ' ( ' ( ' = או ( ' =.( ( ' ( ' ( ' = = באותו אופן אז = ולכן גם מתקיים. ( ( ( = ( ( = הדרוש = נראה ש יהיו כמו קודם. נזכור ש- אז מהנתון ', ', '. ( = ( = = חייב להתקיים ואז כדי שיתקיים (**. ( '.( ( ' ' ( ' ' *( ' ' = ( ' ( ' **( ' ' = ( ' ( ' ( ' = F אז ( ' = ( ' ' = ולכן ( ' = = אזי כדי שיתקיים (* חייב להיות '. ( =. ( ' ' = = F ולכן נניח ש- לכן אינו חופשי ב- ונראה ש-. נניח ', ' ( ( = ( ( = בשלילה שקיימת הצבה של שמות איברים כך ש- אזי a. כלומר קיים באופן חופשי ולכן אבל נוסחה זו נכונה ( ' ' = F אבל ( ' ' =. ( ' = אבל ( ' = F כך ש-. ' [ a ] = ב- ' לא מופיע.( ' ' [ a] = ( ' [ a] '. ( ' לכל הצבה ולכן =.( ( = ( ( = בזאת הראינו שכל כללי ההיסק אכן נכונים בכל מבנה. אבל זו סתירה. מורכבת מהרכיבים הבאים: הגדרה: תורה (או מערכת פורמלית שפה פורלית. אקסיומות לוגיות 2. אקסיומות לא לוגיות קבוצה של נוסחאות כלשהן 3. כללי ההיסק שהגדרנו לעיל. 4. לכן.5.

2 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר V( = הערה: האקסיומות הלא לוגיות אינן בהרכח נכונות. למעשה, בהינתן קבוצה של אקסיומות לא לוגיות נרצה למצוא את המבנים שבהם הן מתפרשות כנכונות, קיימים כאלה בכלל. נכונה חייב להיות טאוטולוגית של כי אחרת תתקבל סתירה. ולכן גרירה.,..., סימון: ניתן להסיק את הנוסחה מתוך האקסיומות הלוגיות בשימוש בכללי ההיסק בלבד נסמן. ניתן להסיק את הנוסחה מתוך. האקסיומות של תורה נסמן משפט הטאוטולוגיה הגדרה: נוסחאות אלמנטריות הן נוסחאות אטומיות ונוסחאות מהצורה כאשר נוסחה כלשהי. V.8 תהי פונקציית המוגדרת באופן שרירותי על כל הנוסחאות האלמנטריות. ניתן להרחיב את V לכל הנוסחאות באופן הבא (אשר, נגדיר: נקרא האופן המקובל: בהינתן נוסחאות כלשהן ( = ( = V V V V V,,..., נוסחאות ונניח שלכל הערכה V שעבורה הגדרה: יהיו. V( נקראת אז גרירה = גם V( =,..., V =.,..., טאוטולוגית של דוגמה:. 2 ו- 2 2 2 ברור ש- היא גרירה טאוטולוגית של הגדרה: נוסחה נקראת טאוטולוגיה היא מקבלת ערך עבור כל הערכה V. הערה: מההגדרה נובע שנוסחה אלמנטרית לא יכולה להיות טאוטולוגיה. שהרי אמרנו שלנוסחאות האלמנטריות קובעים ערכי שירורותיים. בפרט נוכל לקבוע להן ערך.,..., טענה 26: היא גרירה טאוטלוגית של אמ"מ כלומר V הערכה הם ערכי ה.,..., *. תהי V,..., V V לכל הנוסחאות באופן V( =... טאוטולוגיה. הוכחה: נניח ש- היא גרירה טאוטולוגית של V = אז V =,..., V = כלשהי של הנוסחאות האלמנטריות. נניח ש- אזי מ-(* ולכן קיים אלגוריתם סופי אשר מאפשר לקבוע טענה 27: לכל נוסחה היא טאוטולוגיה או לא. =... קיים אלגוריתם הוכחה: נוכיח שלכל נוסחה מהצורה אזי הטענה תתקבל עבור סופי לקביעה היא טאוטולוגיה או לאו. כלומר על,...,,. = נוכיח באינדוקציה על סכום האורכים של 0 -מקומי. l( = = l : = = אזי והיא סימן יחס לא טאוטולוגיה. אחרת אזי זו טאוטולוגיה. סימן היחס הוא נניח עבור נוסחאות שבהן סכום האורכים קצר מאשר ב-. אלמנטריות או כאשר בשלב הראשון נניח שכל נטען ש- טאוטולוגיה אמ"מ קיימים שלילה של אלמנטריות. : = כך ש-, j אזי נגדיר הערכה V. V = F, כאלה. j j נניח שלא קיימים של הנוסחאות האלמנטריות עבור באופן הבא: כלשהו, אחרת נגדיר = אזי = בסתירה לכך ש- V... ברור שנקבל ש- = F טאוטולוגיה. > אזי j כאלה נניח בה"כ ש-, j ( קיימים (...... j... =......... V V V V V =......... j = V V V V = כלומר טאוטולוגיה. לא כל כאשר אלמנטריות או שלילה של אינה אלמטריות או כך ש- אלמנטריות אזי קיים שלילתה. נשים לב ש- V(... = V(...... אינה אלמטרית או שלילה של כזאת. ולכן ניתן להניח בה"כ ש- D או או במקרה זה היא או D, נוסחאות כלשהן. כאשר D נבדוק מה קורה במקרים אלה: 2.... = D אזי. = D ברור ש- V D... = ( 2 V( D... = לכן הבעיה הצטמצמה לבדיקה ה הנוסחה D 2... היא טאוטולוגיה או לא. אבל על נוסחה זו ניתן להחיל את הנחת האינדוקציה ולכן הדבר אפשרי. =. אזי. = 2... 2 ברור ש- (( 2... = ( 2... V V לכן הבעיה הצמצמה לבדיקה ה הנוסחה 2... היא טאוטולוגיה או לא. אבל על.a.b l.,..., V הם אזי קיים V,..., ע"י הרחבת שהתקבלו עבור V =,..., V המקובל. =... נכונה. לא כל מינימלי כך ש-. V = F אזי: ( ( +... = ( לכן V... תקבל V =... = V וכן = ערך. כלומר בכל מקרה היא אמיתי ולכן טאוטולוגיה.... טאוטולוגיה. ונניח ש- ( נניח ש-... תהיה אזי כדי ש- V( =,..., V =

3 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר נוסחה זו ניתן להחיל את הנחת האינדוקציה ולכן הדבר אפשרי.. = אזי הנוסחה היא מהצורה D ברור ש-. ( D 2... ( ( 2... = V( ( D 2... V(... V( D... V D = = = 2 2 ( D 2... אז טאוטולוגיה אמ"מ 2... טאוטולוגיות, D 2... אבל במקרים אלה כבר טיפלנו בסעיף (b. בכל מקרה מצאנו תהליך סופי לבדיקה... היא טאוטולוגיה או לא. כפי שכבר נאמר למעלה הטענה מתקבלת מהמקרה =. מסקנה 28: קיים תהליך סופי לקביעה ה היא גרירה טאוטולוגית.,..., של,..., אמ"מ הוכחה: לפי טענה (26 גרירה טאוטולוגית של... טאוטולוגיה. לפי טענה (28 קיים תהליך סופי לבדיקה ה נוסחה זו היא טאוטולוגיה וכך מתקבלת הטענה. משפט 29 (משפט הטאוטולוגיה: היא גרירה טאוטולוגית של. אזי,..., ו-,..., הוכחה: ההוכחה תעשה מאוחר יותר ותסתמך על תוצאה של המשפט. תוצאה 30: טאוטולוגיה אזי. הוכחה: היא טאוטולוגיה היא גרירה טאוטולוגית של קבוצה ריקה של נוסחאות. לכן התוצאה נובעת ממשפט הטאוטולוגיה באופן ריק. כעת נוכיח כמה למות שיעזרו לנו בהסקת משפט הטאוטולוגיה מהמסקנה שלו. אזי למה 3:. אקסיומה ולכן הוכחה:. נובע ש- ש- למה 32 (שגם לה נקרא כלל האסוציאטביות: אז לפי כלל החתך בהינתן. ( ( ( ( ( (.c הוכחה: נתון ש- לפי למה (3 לפי כלל האסוציאטיביות לפי למה (3 לפי כלל האסוציאטיביות ושוב לפי למה (3 נקבל את הדרוש משפט 33 (כלל הניתוק :(Modus Poes הוכחה: נתון ש- מכלל ההרחבה: מלמה :(3 כלומר נתון ש- מכלל החתך: מכלל הצמצום:., אזי מסקנה 29: משפט הטאוטולוגיה,..., וכן גרירה טאוטולוגית של נוסחאות הוכחה: נניח... טאוטולוגיה. ואז לפי אלה. אזי לפי טענה (26 כעת נשתמש בכלל הניתוק.... תוצאה (30 פעמים: ( ( 2...... 2 - ( 2 2 ( 2 ( 3... (... 3 ( ( ( ( קיבלנו את מה שרצינו. הוכחנו את משפט הטאוטולוגיה בהסתמך על התוצאה שלו (שכל טאוטולוגיה היא יכיחה. נצליח להוכיח תוצאה זו ללא שימוש במשפט הטאוטולוגיה נקבל הוכחה למשפט. לצורך הוכחה זו נוכיח ראשית מספר טענות עזר ולמות. m,..., טענת עזר 34: יהיו נוסחאות.... כאשר לפי כלל ההרחבה נקבל.... אז,..., m הוכחה: נוכיח באינדוקציה על. m.. m= אזי (. אז לפי למה (3 נקבל +.... כעת... כלומר ( +... נשתמש בכלל ההרחבה פעמים כמו קודם נקבל את הטענה:....... = 2. 2 2=m נקבל אזי ואז נחזור למקרה (. נניח אז ש- לפי כלל הצמצום. 2. 2 (3 לפי למה לכן ניתן להניח בה"כ < j < 2 שקיימים כך ש-. נראה באינדוקציה j על ש-.... כאשר 2= ברור שהטענה נכונה. a. : 2 ונראה עבור נניח למספר שקטן מ- b.. אז בעצם =. נסמן j. = 3... בלשון זו צריך להוכיח ש-.. 2 2 j= 2 2 לפי ההנחה אזי לפי כלל ההרחבה. 2 ולפי למה (3 3 אזי לפי הנחת האינדוקציה j לפי למה (3 וכלל.. 2 ההרחבה לפי כלל האסוציאטביות ולמה (3 נקבל את. 2 הדרוש: 2 אזי לפי הנחת האינדוקציה. 2... לפי כלל ההרחבה נקבל את הדרוש:......

4 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר j j. = j 3 ונראה עבור : m נגדיר כעת נניח לכל מספר שקטן מ- m... נתון ש-. =... 2 3 m... (. ( לפי 2 3 m ( (... 2 3 m. ( בנוסחה זו יש m 2 2 3 ( 2.... ( 2 ( 2 ( 2 ( כלומר האסוציאטיביות כלל כלומר סימני ( (... m איווי ולכן לפי הנחת האינדוקציה כלומר לפי למה (3 לפי כלל האסוציאטיביות לפי הנחת האינדוקציה לפי למה (3 וכלל האסוציאטיביות ( ( ( ( ( ( לפי הנחת האינדוקציה לפי כלל האסוציאטיוביות לפי כלל ההרחבה לפי כלל האסוציאטיביות לפי כלל הצמצום פעמיים בזאת, אחרי הוכחה מייגעת במיוחד הוכחנו את הדרוש. אז טענת עזר 35: הוכחה: לפי אקסיומת השלישי הנמנע לפי למה (3 נתון לפי כלל החתך. לפי למה (3 אז וגם ( ( ( ( ( ( ( ( טענת עזר 36: הוכחה: מאקסיומת השלישי הנמנע לפי למה (3 לפי כלל האסוציאטיביות נתון ש- לפי כלל החתך לפי כלל האסוציאטיביות נתון ש- לפי כלל החתך ( (. ( לפי כלל האסוציאטיביות לפי טענת עזר (34 2... טאוטולוגיה אז... למה 37: לכל הוכחה: נוכיח באופן דומה להוכחה של טענה (27. נוכיח באינדוקציה על. = מה הבסיס כאן? בשלב הראשון נניח שכל הנוסחאות הן אלמנטריות או שלילה של אלמנטריות. אזי לפי האלגוריתם מטענה (27 קיימים, כך ש- j אקסיומה ולכן..... כעת לפי טענת עזר (34 j לא כל הנוסחאות הן אלמנטריות או שלילה של אלמנטריות או או כך ש- היא או קיים (... אמ"מ. לפי טענת עזר (34 אינה....... לכן בה"כ נניח כי אלמנטרית או שלילה של אלמנטרית. = צריך להראות שהנוסחה כאשר.a 2... יכיחה. אבל זה נכון לפי הנחת האינדוקציה שהרי סכום אורכי הנוסחאות כאן קטן באחד. 2... ברור ש = טאוטולוגיה אז גם 2... טאוטולוגיה. לפי... 2 טענת עזר (35 אבל זה נכון מהנחת האינדוקציה.... 2. = אזי יש להראות שהנוסחה ( 2... ניתנת להוכחה. הנוסחה ( 2... היא טאוטולוגיה אז או קיים V( = F V( כך ש- = אן שגם. V 2 וגם = F בכל מקרה נקבל שתי הנוסחאות ו- 2... הן מטענת עזר (36 נראה ש- וגם 2... אבל שני תנאים אלה נובעים מהנחת 2... טאוטולוגיות. 2....b.c ינבע הדרוש. האינדוקציה. קיבלנו את הדרוש. כעת נחזור להוכחת הדרוש. תוצאה 30: טאוטולוגיה אזי. טאוטולוגיה. לפי למה (37 הוכחה: טאוטולוגיה אזי גם. לפי כלל הצמצום. וכבר ראינו איך תוצאה זו גוררת את משפט הטאוטולוגיה. כלומר שתי הטענות הבאות שקולות:,...,,..., אזי. ו- גרירה טאוטולוגית של. טאוטולוגיה אזי. נשים לב שבכל ההוכחות שלנו השתמשנו רק באקסיומת השלישי הנמנע ובכללי ההיסק פרט לכלל הכנסת. משמעות הדבר היא שכל האמור לעיל נכון גם בכל תורה שבה האקסיומה הלוגית היחידה היא השלישי הנמנע ולא קיים בה כלל הכנסת. דוגמה: גרירה נראה ש-. אזי. לפי טענה (26 מספיק להראות ש- טאוטולוגית של טאוטולוגיה. נראה זאת ע"י שימוש = ( ( בטבלאות :. כעת לפי משפט הטאוטולוגיה l.

5 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר כעת נכניס גם את הכמתים לטענות שלנו. נזכור את כלל הכנסת : נובע ב- לא מופיע כמשתנה חופשי אז מ- טענה 38 (כלל הכנסת : ב- לא מופיע באופן חופשי אזי מ-. נובע. נובע הוכחה: בעצם יש להראות שמ- לפי משפט הטאוטולוגיה ב- לא מופיע כמשתנה חופשי ולכן ניתן להשתמש בכלל הכנסת : לפי משפט הטאוטולוגיה. ושוב לפי משפט הטאוטולוגיה טענה 39 (כלל ההכללה: אז הוכחה: נתון ש-. לפי משפט הטאוטולוגיה לכל נוסחה מתקיים. בפרט זה נכון עבור. = ב- זאת לא מופיע כמשתנה חופשי משום שהוא קשור ע"י. לכן לפי כלל הכנסת. נחליף את הקשר גרירה ונקבל. לפי משפט הטאוטולוגיה ולפי כלל הצמצום. הערה: נשים לב שלא נכון ש- אלא כן סגורה!! טענה :40 אזי b] [ כאשר הוכחה: נתון ש-. לפי כלל ההכללה, כלומר לפי אקסיומת ההצבה לכל נוסחה משתנה ו- b שם עצם.. עבור b כלומר. b בפרט זה נכון ו- b. = גרירה טאוטולוגית של ולכן. [ b] [ b] לפי משפט הטאוטולוגיה טענה 4 (כלל ההצבה: אז כאשר,..., b,..., b ולא ב-,..., b שמות עצם. b,..., משתנים שלא מופיעים לא ב- נשתמש פעמים בכלל ההצבה: [ ] 2,, 2 2,...,,..., פעמים בכלל ההצבה:,..., משתנים ו- הוכחה: יהיו. b,..., b נשתמש שוב,...,,..., b,...,,..., 2 b,,..., b,,..., b,..., 2,..., 2 2 ( b,... b, b,... b, b,...,,..., כלומר.,..., b,..., b הסבר: למה הוכחנו את הטענה בדרך הכביכול עקומה הזאת? היינו מתחילים מכך שמ- נסיק b לא היינו להמשיך ולהסיק את. b מופיע ב- משום שיכול להיות ש- 2 זה נובע [, ] b b, 2 2 מההבדל שבהצבה בקריאה אחת או באיטריציות. לפי הגדרה הצבה של מספר משתנים מתבצעת בקריאה אחת. אבל כלל ההצבה נכון להצבה של משתנה אחד בלבד וכאשר אנחנו משתמשים בו באינדוקציה אנחנו בעצם משתמשים בו באיטרציות מה שיוצר את הבעייתיות הזאת. כלומר יכול להיות שבאיטרציה מתקדמת "נדרוס" את מה שהצבנו באיטרציה קודמת.,..., ושמות משפט 42 (משפט ההצבה: יהיו נוסחה, משתנים,..., b. אזי: עצם b b,..., b....,...,... b,..., b,...,. בפרט עבור לפי אקסיומת ההצבה לכל נוסחה. באותו אופן כלומר. = = ו-,...,...... 2 2... ואז לפי כלל. לפי משפט הטאוטולוגיה ההצבה. b,..., b...,...,. לפי משפט באותו אופן מאקסיומת ההצבה. כלומר. הטאוטולוגיה. כמו נקבל = = בפרט ניקח,.... צעדים נוספים נקבל.... b,..., b,..., קודם לאחר אז לפי כלל ההצבה הוכחה:. אז משפט 43 (כלל הדיסטריביוטיביות: ו- הוכחה: לפי אקסיומת ההצבה. בשילוב עם נקבל ממשפט הטאוטולוגיה ש-. ב- משתנה קשור ולכן ניתן להשתמש בכלל הכנסת ונקבל. באופן דומה, כבר ראינו מספר פעמים איך מאקסיומת ההצבה נובע ש- לפימשפט הטאוטולוגיה ואז בשילוב עם. ב- קשור ולכן ניתן להשתמש בכלל הכנסת. :,..., כל המשתנים שיש להם הופעה הגדרה: תהי נוסחה ויהיו. נקראת הסגור של... חופשית ב-. הנוסחה טענה 44:. אבל לא בכיוון ההפוך. אולי אח"כ אוסיף את ההוכחה. הוכחה: בעיקרון יש את זה בתרגיל. אמ"מ אזי. ' הסגור של משפט 45 (משפט הסגור: תהי. ' הוכחה: אזי בשימוש פעמים בכלל ההכללה נקבל '. ההצבה משפט לפי אזי '. נניח ' ולפי משפט כלומר...,...,,...,,..., נוסחאות. נסמן ב- מערכת פורמלית. ויהיו את המערכת הפורמלית המתקבלת מ- ע"י הוספת הטאוטולוגיה. סימון: תהא [ ],...,,..., בתור אקסיומות חדשות.

6 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר, נוסחאות וב- אין משתנים משפט 46 (משפט הדדוקציה: יהיו אמ"מ חופשיים. אזי. אזי ברור ש- כמו כן. ה. נניח ש- וכחה: (. אזי לפי כלל הניתוק. נניח ש-. נוכיח את הטענה באינדוקציה על ההיסק של - :. ב כאשר אורך ההיסק הוא אזי מתקיים אחד מהבאים: a. זהה ל-. אזי לפי אקסיומת השלישי הנמנע. כלומר. אזי לפי כלל. b אקסיומה ב-, כלומר ההרחבה. כלומר. 2 נניח שהטענה נכונה לכל נוסחה שההיסק שלה ב- קצר,..., m. מזה של גרירה טאוטולוגית של a. ב- היסק קצר יותר מאשר זה של יש ולכל. לפי הנחת.,..., האינדוקציה m ולכן,..., היא גרירה טאוטולוגית של m. לפי משפט הטאוטולוגיה. b מתקבלת מהטלת כמת, כלומר היא מהצורה D כאשר ב- לא מופיע בתור משתנה חופשי. כלומר השלב האחרון בהסקת היה שמ- D. לכן ההיסק נובע D D היה קצר יותר וניתן להכיל על נוסחה זו את של D. ( לפי משפט הנחת האינדוקציה: ( הטאוטולוגיה סגורה וב-. D באופן חופשי ולכן ניתן להשתמש בכלל D ( ולפי משפט לא מופיע הכנסת. D הטאוטולוגיה לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל נוסחה.,..., משפט 47 (משפט הדדוקציה: ב-... אז אין משתנים חופשיים,..., אמ"מ הוכחה: הוכחנו את משפט הדדוקציה (משפט 46 למקרה של נוסחה אחת בלבד. ההוכחה של משפט זה מתבצעת אינדוקציה על. משפט 48 (משפט הקבועים: תהי תורה. תהי נוסחה עם,...,. יהיו,..., c קבועים חדשים ושונים זה c משתנים חופשיים מזה שכלל לא מופיעים בשפה. תהי ' המערכת הפורמלית המתקבלת אמ מהוספת הקבועים החדשים לשפה של. אזי "מ. [ c c ]. ',..., ',...,. נניח אזי גם לפי כלל ההצבה..,..., ',..., c c הוכחה: (,..., ',..., c c נניח ש- נסתכל על ההיסק של משום שהם לא היו בשפה המקורית ולכן תהליך ההחלפה לא משפיע עליהן. אמנם לאחר ההחלפה כל האקסיומות הלוגיות הופכות לאקסיומות.,...,,..., [ ולפי כלל ההצבה לוגיות ב-. לכן ] ',..., ' משפט 49 (משפט השקילות: ',..., ושל ונוסחה ' מתקבלת מ- ע"י מספר החלפות של ב- ' אזי ב- ' הוכחה: נוכיח באינדוקציה על המבנה של. אזי הטענה ו- ' היא ' עבור איזה היא. ברורה. נוסחה אטומית אזי או שמדובר במקרה ( שוב או שאין 2. ' זהה ל- ולפי משפט הטאוטולוגיה כלל מקום להחלפה ואז. '. נניח עבור נוסחה שתהליך הבנייה שלה קצר מזה של 3. אזי או שמדובר במקרה ( או היא שלילה a. ' לפי הנחת האינדוקציה '. ש- ' היא ולפי משפט הטאוטולוגיה '. אזי או שנחזור למקרה ( או D היא איווי b. לפי הנחת האינדוקציה מתקיים ' D. ' ש- ' היא לפי משפט הטאוטולוגיה D. ', D '. D ' D ' ' אזי או שמדובר במקרה ( או ש- היא c. '. לפי הנחת האינדוקציה '. היא לפי כלל ' וכן ' כלומר וכן ' הדיסטריביוטיביות ולכן לפי משפט הטאוטולוגיה '. ' לפי עיקרון האינדוקציה המשפט נכון לכל נוסחה. משפט 50 (משפט הוריאנט: לא מופיע ב- אז. [ ] [ ] הוכחה: לפי משפט ההצבה הופעות חופשיות ניתן להשתמש בכלל הכנסת משום שב- אין ל- ולקבל. נסמן. ' = לפי אקסיומת הההצבה כלל הכנסת כמת. ' לפי ' לא מופיע ב- ולכן ולכן קיבלנו בעצם ושל. ' ' (. [ ]. = = ' [ [ היא גרירה טאוטולוגית של ולכן לפי משפט הטאוטולוגיה נקבל את הדרוש:. [ ]. [ ] a= אז b שמות עצם.,a b משפט 5 (משפט הסימטריה: יהיו. b= a p לפי אקסיומת השוויון ניקח את., הוכחה: ניקח משתנים. = = ( = = להיות יחס השוויון אזי ( משפט הטאוטולוגיה זו אקסיומה ולכן לפי כלל הניתוק אבל. לפי = כי לפי משפט. = = = = = a= b נתון ש-. a= b b= ההצבה a. b= a ולכן לפי כלל הניתוק (,..., מהשפה המקורית ניקח משתנים. ' ב-,..., c,..., c לכל c ב- שכלל אינם מופיעים בהיסק ובמהלך כל ההיסק נחליף את c,..., c. כל האקסיומות שאינן לוגיות אינן מכילות את

7 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר * = = = הערה: למפקפקים בכך ש- טאוטולוגית של היא גרירה = ** = = = נעשה טבלת = = = * : ** משפט 52 (משפט השוויון: יהיו שמות עצם ' b b,..., b, b ',..., וכן. b = b ',..., b ' נניח = b. יהיו שם עצם c ונוסחה b אז b ב- ' ' c מתקבל מ- c ע"י מספר החלפות של.. c= c ' b כאשר b ב- ' ' מתקבלת מ- ע"י מספר החלפות של 2. b לא קשורים הן לפני והן אחרי ההחלפה, b וב- ' המשתנים שב-. אז ' הוכחה: נוכיח באינדוקציה על המבנה של : c. התבצעה החלפה. כלשהו אז ' c זהה ל- ' c זהה ל- b =c. לא התבצעה c ' גם b = b משום שנתון ש- '. c= החלפה c נשאר כמו שהוא ולפי אקסיומת הזהות c b שהרי כבר טיפלנו במקרה בהמשך נניח ש- c הוא לא אחד מה- זה. נניח לכל שם עצם שתהליך הבנייה שלו היה קצר מזה של. c c ' אזי b a. c הוא משתנה והנחנו שהוא אינו אחד מה-. c= זהה ל- c משום שאין מה להחליף. ואז כמובן c...,..., c שמות cm כאשר fc cm הוא מהצורה c אחרת.b עצם שתהליך הבנייה שלהם קצר יותר. לפי הנחת ' ',..., c כאשר לכל = c cm האינדוקציה = cm j ' מתקבל מ- ע"י מספר החלפות של m c j. b לפי אקסיומת השוויון: b ב- ' =... m = m f... m = f... m לפי כלל ההצבה: c = c '... c = c ' fc... c = fc '... c ' m m m m c = c ',..., c ' m לפי כלל הניתוק משום ש- = cm. c= c ' כלומר, fc... cm = fc '... cm נקבל ' לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל שם עצם. נוכיח באינדוקציה על המבנה של :... pc אזי ' היא מהצורה נוסחה אטומית מהצורה cm ' '... pc. לפי סעיף ( c. לפי = c ',..., ' cm = cm c m אקסיומת השוויון בשילוב עם כלל ההצבה. c = c '... c = c ' pc... c pc '... c ' m m m ' '... ' c. לפי כלל = c cm = cm כלומר. הניתוק ' ' ',..., c c = אז cm לפי משפט הסימטריה = cm c ' = c ובאותו האופן בעזרת אקסיומת,..., cm ' = cm '. כעת לפי השוויון, כלל ההצבה וכלל הניתוק נקבל. משפט הטאוטולוגיה ' נניח לכל נוסחה שתהליך הבנייה שלה היה קצר מזה של. מסקנה.a היא אזי ' היא '. לגבי ' ניתן להשתמש בהנחת האינדוקציה שהרי תהליך הבנייה שלה קצר יותר ו ב- ', המשתנים לא היו קשורים אזי כמובן גם ב- ', הם חופשיים. לכן '.. לפי משפט הטאוטולוגיה ' אזי ' היא ' ' וכמו קודם היא.b ב- ', המשתנים לא היו קשורים אזי כמובן גם ב- הם חופשיים. לכן ניתן להשתמש, ' '. בהנחת האינדוקציה ולקבל ' ',. לפי משפט הטאוטולוגיה ' b ( הוא c. היא כאשר לא מופיע באף מופיע אז הוא קשור וזה נוגד את הנחות המשפט אזי ' היא '. לפי הנחת האינדוקציה '. וגם '. לפי כלל כלומר ' הדיסטריביוטיביות ' וגם. כלומר ' שזה '. בדיוק מה שרצינו ' לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל נוסחה. c שעם עצם ו- ' b b,..., b, b ',..., שמות עצם אזי 53: b = b '... b = b ' c b,..., b = c b ',..., b ' b b או ' הוכחה: נחליף כל משתנה שמופיע באיזה בקבוע חדש. נניח d בהתאמה. אזי צריך, d,' h מתקבלים שמות העצם b, b שמ- ', c להוכיח ' d. d = d '... d = d ' h d,..., d = h d ',..., לפי משפט הדדוקציה נוסיף את ' c c = בתור אקסיומה יהיה מספיק [,..., ] = [ ',..., ']. h d d h d d להוכיח אבל זה נכון לפי משפט השוויון. מסקנה 54: ( b = b '... b = b ' b,..., b b ',..., b ' ו- b הוכחה: כנ"ל מסקנה 55: לא מופיע בשם עצם b = b נוסחה אזי b. = b הוכחה: נסתכל על הנוסחה במרום נקבל לפי כלל ההצבה נציב. לפי משפט ( b= b [ b] ( = b. [ b] ( = b. = b ( [ b] (54 הטאוטולוגיה ממסקנה נתון ש- בפרט מתקיים לפי משפט הטאוטולוגיה לא מופיע בשם עצם b ולכן. = b b :. = b [ b]. ( = b [ b] ניתן להשתמש בכלל הכנסת הוכחנו את שני הכיוונים ולפי משפט הטאוטולוגיה. b = b c j b

8 מבוא ללוגיקה, דינה זליגר 4. נובע מיידית מסעיף (3 ובשימוש בלמה (3. בכך הראנו שכל פעולת קידומת נורמלית נותנת נוסחה שקולה ל-..9 צורת קידומת נורמלית הגדרה: נאמר שנוסחה ' היא וריאנט של ' מתקבלת ע"י סדרה של החלפות של חלקי שנראים כך ב כאשר אינו חופשי ב-. הגדרה: נאמר שנוסחה היא פתוחה לא מופיעים בה כמתים. הגדרה: נאמר ש- היא בצורת קידומת נורמלית form (pree כאשר היא מהצורה Q Q כאשר כל, Q, המשתנים { }... m m,..., הם שונים ו- פתוחה. Q... Qm m נקרא הקידומת והיא יכולה להיות ריקה. כלומר, נוסחה פתוחה היא בצורת קידומת נורמלית. נשאלת השאלה ה לכל נוסחה ניתן למצוא נוסחה שקולה בצורת דיקומת נורמלית. לשם כך נגדיר מספר פעולות שנקראות פעולות קידומת נורמלית:. החלפת בוריאנט שלה Q ' כאשר 2. החלפת חלק ב- מהצורה Q ב- Q= Q ' = Q = 3. החלפת חלק ב- מהצורה Q ב- ( Q אינו חופשי ב- 4. החלפת חלק ב- מהצורה ב- Q ( Q אינו חופשי ב-. נוסחה ותהי ' הנוסחה שהתקבלה מ- ע"י פעולת טענה 56: תהי. אזי ' קידומת נורמלית. הוכחה: נובע ממשפט הוריאנט (50.. לפי משפט השקילות מספיק להראות כדי להראות ש- ' 2.. Q Q ' כלומר יש להראות ש- ש- כלומר. ו-.** ו- * ואילו (* נכון לפי משפט (** נכון לפי משפט הטאוטולוגיה.. השקילות, שכן לפי משפט הטאוטולוגיה לפי משפט השקילות מספיק להראות ש- (2 כמו בסעיף 3. שמתקיים לדוגמה נראה. Q Q. ( : ( להוכיח:.a לכן לפי משפט הטאוטולוגיה מספיק שהרי זו טאוטולוגיה. כעת לפי כלל הדיסטריביוטיביות (43. : (. ( (. ( : (.b.c לפי אקסיומת ההצבה ולפי משפט הטאוטולוגיה לפי אקסיומת ההצבה. לפי משפט הטאוטולוגיה. וכעת לפי כלל הכנסת (נתון ש- אינו חופשי ב- והוא גם אינו חופשי ב- (. (. ( ( באופן זהה מוכיחים ש- ( טענה 57: כל נוסחה ניתן להפוך לנוסחה בצורת קידומת נורמלית ע"י סדרה של פעולות קידומת נורמלית. הוכחה: באינדוקציה על בניית הנוסחה:. נוסחה אטומית אזי היא כבר בצורת קידומת נורמלית. לפי הנחת האינדוקציה אפשר להפוך את. = לנוסחה בצורת קידומת נורמלית '. כך הופכת ל- '. אבל נוסחה זו ניתן להפוך לנוסחה בצורת קידומת נורמלית ע"י סדרה של פעולות מסוג (2., אזי לפי הנחת האינדוקציה ניתן להפוך את = לצורת קידומת נורמלית '.,' בגלל פעולה ( ניתן להניח כי המשתנים שמופיעים בקידומת של ' שונים מהמשתנים המופיעים בקידומת של ' ושכל המשתנים האלה שונים הופכת ל- מהמשתנים החופשיים ב- '. ', וכך '. ' כעת ע"י פעולות (3 ו-( 4 ניתן להפוך נוסחה זו לנוסחה בצורת קידומת נורמלית. 4.. = לפי הנחת האינדוקציה ניתן להפוך את לנוסחה בצורת קידומת נורמלית ' וכן בכלל פעולה ( ניתן להניח כי שונה מהמשתנים המופיעים בנוסחה זו. לכן ' היא נוסחה בצורת קידומת נורמלית. לפי עיקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל נוסחה. מסקנה 58: לכל נוסחה קיימת נוסחה ' כך ש- ' Q וב- אין כמתים. מהצורה Q... Qm m כאשר }, { הוכחה: זו מסקנה ישירה של המשפטים האחרונים. ו- '.0 משפט השלמות משפט השלמות הוא למעשה השיא של הקורס ויש מקום לדיון פילוסופי עמוק שנימנע ממנו בסיכומים אלה (למרות שלדעתי דווקא זהו החלק המעניין... במערכת פורמלית מלבד השפה בכל אופן, דיברנו על מערכות פורמליות. יש אקסיומות לוגיות ואקסיומות לא לוגיות שנקבעות באופן שרירותי. בשימוש באקסיומות הלוגיות משפט הוא נוסחה שניתנת להסקה ה קיימת דרך והאקסיומות הלא לוגיות של המערכת הפורמלית שלנו. ובכן, גנרית (סינטקטית לדעת ה נוסחה כלשהי היא משפט או לאו? לא בוודאי שלא, אחרת לא כל הבעיות המתמטיות היו נפתרות בבת אחת. בכל קיימת דרך לדעת נוסחה היא משפט או לא רק מהסתכלות עליה. זאת, ננסה לתת אפיון כלשהו של משפטים, מערכות פורמליות והקשר שלהם למציאות, קרי למבנים שמפרשים אותם. L כל מה שנמצא ' L היא הרחבה של השפה נאמר שהשפה הגדרה:. ב- L נמצא גם ב- ' L. מערכת פורמלית עם השפה L ותהי ' מערכת פורמלית תהי 2.. L נאמר ש- ' היא הרחבה ' L שהיא הרחבה של עם השפה כל משפט ב- הוא משפט ב- '. של נאמר ש- ו- ' שקולות יש להן אותה שפה וכל אחת מהן 3. היא הרחבה של השנייה (כלומר יש להן אותם המשפטים. הערה: בהינתן שתי מערכות פורמליות שקולות לא נוכל להסיק כי יש להן שכן יכול להיות שאחת מהאקסיומות הלא לוגיות נובעת אותן אקסיומות. כלומר רשימת האקסיומות הלא לוגיות אינה חייבת להיות מן האחרות. מינימלית.